कक्षा 6 क्षेत्रमिति

  10.1  कक्षा 6 गणित

Q1. नीचे दी हुई आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए :

उत्तर (a): परिमाप = 4 + 2 + 1 + 5 = 12 सेमी

उत्तर (b): परिमाप = 35 + 23 + 35 + 40 = 133 सेमी

उत्तर (c): परिमाप = 15 + 15 + 15 + 15 = 60 सेमी

उत्तर (d): परिमाप = 4x5

                            =20 सेमी

उत्तर (e): परिमाप =1 +4 + 0.5 + 2.5 +2.5 + 0.5 + 4

${\displaystyle <span> \; </span><span> \; </span><span> \; </span><span> \; </span><span> \; </span><span> \; </span><span> \; </span>=2\times 8=\mathrm{15<span\; face="Arial,\; "Helvetica\; Neue",\; Helvetica,\; sans-serif">सेमी</span>}}$

उत्तर (f): परिमाप  =4(3+4+1+3+2)

                            =4×13

                            =52 सेमी

Q2. 40 सेमी लंबाई और 10 सेमी चौड़ाई वाले एक आयताकार बॉक्स के ढक्कन कोप चारों ओर से पूरी तरह एक टेप द्वारा बंद कर दिया जाता है | आवश्यक टेप की कीजिए |

हल : कुल आवश्यक टेप = आयत का मापदंड

= 2 (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 (40 + 10)

= 2 x 50

= 100 cm

= 1

इसलिए, कुल आवश्यक टेप 100 cm या 1 m.

Q3. एक मेज़ की ऊपरी सतह की विमाएँ 2 मी 25 सेमी और 1 मी 50 सेमी हैं | मेज़ की ऊपरी सतह का परिमाप ज्ञात कीजिए |

हल :मेज़ के ऊपरी सतह की लंबाई = 2 m 25 cm = 2.25 m

मेज़ के ऊपरी सतह की चौड़ाई = 1 m 50 cm = 1.50 m

मेज़ का मापदण्ड = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 x (2.25 + 1.50)

= 2 x 3.75

= 7.50

इसलिए, मेज़ का मापदण्ड = 7.5 m.

Q4. 32 सेमी लंबाई और 21 सेमी चौड़ाई वाले एक फोटो को लकड़ी की पट्टी से फ्रेम करना है | आवश्यक लकड़ी की पट्टी की लंबाई ज्ञात कीजिए |

हल :लकड़ी की पट्टी की लंबाई = फोटो का परिमाप

= 2 x (लंबाई + चौड़ाई)

2 (32 + 21)

= 2 x 53 cm

106 cm

आवश्यक लकड़ी की लंबाई =106 cm. है

Q5. एक  आयताकार भूखंड की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 0.7 किमी और 0.5 किमी है | इसके चारों ओर एक तार से 4 पंक्तियों में बाड़ लगाई जानी है | आवश्यक तार की लंबाई ज्ञात कीजिए|

हल :आवश्यक तार की लंबाई

इसलिए तार की कुल लंबाई चार पंक्तियों में,

आयताकार भूखंड की लंबाई = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 x (0.7 + 0.5)

= 2 x 1.2

= 2.4 km

= 2.4 x 1000 m

2400 m

तार की लंबाई = 4 x 2400 = 9600 m = 9.6 km

Q6. निम्न आकृतियों में प्रत्येक का परिमाप ज्ञात कीजिए :

(a) एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी है |

हल :त्रिभुज ABC का परिमाप = AB + BC + CA

3 cm + 5 cm + 4 cm

= 12 cm

(b) एक समबाहु त्रिभुज जिसकी एक भुजा की लंबाई 9 सेमी. है।

हल:परिमाप = 3 × एक भुजा की लम्बाई
= 3 × 9 सेमी. = 27 सेमी.

(c) एक समद्वीबाहु त्रिभुज जिसकी प्रत्येक समान भुजा 8 सेमी की हो तथा तीसरी भुजा 6 सेमी हो |

हल :त्रिभुज ABC का परिमाप = AB + BC + CA

= 8 cm + 6 cm + 8 cm

= 22 cm

Q7. एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 10 सेमी, 14 सेमी तथा 15 सेमी हैं |

हल :त्रिभुज का परिमाप = तीन भुजाओं का योग

= 10 cm + 14 cm + 15 cm

= 39 cm

त्रिभुज का परिमाप = 39 cm

प्रश्न 8: एक सम षट्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसकी प्रत्येक भुजा की माप 8 मी है।

उत्तर:षट्भुज का परिमाप = 6 x एक भुजा की लंबाई

= 6 x 8 m

= 48 m

षट्भुज का परिमाप = 48 m है

प्रश्न 9: एक वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाप 20 मीटर है

उत्तर: हम जानते हैं वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

इसलिए भुजा = परिमाप ÷ 4

= 20 ÷ 4 = 5 मी

प्रश्न 10: एक सम पंचभुज का परिमाप 100 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सम पंचभुज की भुजा = परिमाप ÷ 5

= 100 ÷ 5 = 20 सेमी

प्रश्न 11: एक धागे का टुकड़ा 30 सेमी लंबाई का है। प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी, यदि धागे से बनाया जाता है।

(a) एक वर्ग?

उत्तर: वर्ग की भुजा = परिमाप ÷ 4
= 30 ÷ 4 = 7.5 सेमी

(b) एक समबाहु त्रिभुज?

उत्तर: समबाहु त्रिभुज की भुजा = परिमाप ÷ 3
= 30 ÷ 3 = 10 सेमी

(c) एक सम षट्भुज?

उत्तर: सम षटभुज की भुजा = परिमाप ÷ 6
= 30 ÷ 6 = 5 सेमी

Q12. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी तथा 14 सेमी हैं | इस त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है | इसकी तीसरी भुजा की लंबाई क्या होगी ?

हल :माना तीसरी भुजा की लंबाई = x cm

अन्य दो भुजाओं की लंबाई = 12 cm और 14 cm

अब, त्रिभुज का परिमाप = 36 cm

12 + 14 + x – 36

26 + x – 36

x – 10 cm

तीसरी भुजा की लंबाई = 10 cm है |

Q13. 250 मी भुजा वाले वर्गाकार बगीचे के चारों बाड़ लगाने का व्यय 20 रु. प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए |

हल :वर्ग की भुजा = 250 m

वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा

= 4 x 250

= 1000 m

बगीचे के चारों तरफ बाड़ लगाने का मूल्य = 20 रु.

इसलिए, बाद लगाने ख मूल्य = 20 x 1000 = 20.000

Q14. एक  आयताकार बगीचा जिसकी लंबाई 175 मी तथा चौड़ाई 125 मी, के चारों ओर 12 रु. प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए |

हल :आयताकार पार्क की लंबाई = 175 m

आयताकार पार्क की चौड़ाई = 125 m

पार्क का परिमाप = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 x (175 + 125)

= 2 x 300 = 600 m

बगीचे में बाड़ लगाने का खर्च प्रति मीटर की दर से = 12 रु.

इसलिए 600 मीटर लंबाई वाले बगीचे में बाड़ लगाने का खर्च = 12 x 600 = 7,200

Q15. स्वीटी 75 मी भुजा वाले वर्ग के चारों ओर दौड़ती है और बुलबुल 60 मी लंबाई और 45 मी चौड़ाई वाले आयत के चारों ओर दौडती है | कौन कम दूरी तय करती है |

हल :स्वीटी के द्वारा पूरी की गई दूरी = वर्ग का परिमाप

वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा = 300 m

अब, बुलबुल द्वारा पूरी की गई दूरी = आयताकार पार्क का परिमाप

आयताकार पेक का परिमाप = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 x (60 + 45)

= 2 x 105 = 210 m

बुलबुल ने 210 m की दूरी को तय किया और बुलबुल ने कम दूरी को तय किया है

Q16. निम्न प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए | आप उत्तर से क्या निष्कर्ष निकालते है ?

उत्तर: वर्ग का परिमाप = भुजा × 4
= 25 × 4 = 100 सेमी

उत्तर: आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)
= 2 (30 + 20) = 2 × 50 = 100 सेमी

उत्तर: आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)
= 2 (40 + 10) = 2 × 50 = 100 सेमी

उत्तर:: त्रिभुज का परिमाप = भुजाओं का योग
= 30 + 30 + 40 = 100 सेमी
सभी आकृतियों के परिमाप बराबर हैं।

Q17. अवनीत 9 वर्गाकार टाइल खरीदता है, जिसकी प्रत्येक भुजा 1/2 मी. है और वह इन टाइलों को एक वर्ग के रूप में रखता है।

(a) नए वर्ग का परिमाप क्या है [आकृति (a)]?

हल:वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा
= 4 × 3/2 मी.
= 6 मी.

(b) शैरी को उसके द्वारा टाइलों को रखने की व्यवस्था पसन्द नहीं आती है। वह इन टाइलों को एक क्रॉस के रूप में रखवाती है। इस व्यवस्था का परिमाप कितना होगा [आकृति (b)]?

हल:शैरी की व्यवस्था की स्थिति में

परिमाप = 1/2 मी. + 1 मी. + 1 मी. + 1/2 मी. + 1 मी. + 1 मी. + 1/2 मी. + 1 मी. + 1 मी. + 1/2 मी. + 1 मी + 1 मी.
= 10

(c) किसका परिमाप अधिक है?

हल:शैरी की व्यवस्था में परिमाप अधिक है।

(d) अवनीत सोचता है, क्या कोई ऐसा भी तरीका है जिससे इनसे भी बड़ा परिमाप प्राप्त किया जा सकता ह? क्या आप ऐसा करने का कोई सुझाव दे सकते हैं? टाइलें किनारों से आपस में मिली हुई हों और वे टूटी न हो)।

हल:नहीं, इससे बड़ा परिमाप प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है।

  10.2  कक्षा 6 गणित

1. निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

:

हल :

(a) लंबाई = 3 इकाई और चौड़ाई = 3 इकाई

इसलिए, क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

= 3 इकाई x 3 इकाई

= 9 वर्ग इकाई

(b) आकृति b का क्षेत्रफल = 5 वर्ग इकाई

(c) आकृति c का क्षेत्रफल = 5 वर्ग इकाई

(d) लंबाई = 4 इकाई और चौड़ाई = 2 इकाई

इसलिए, क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

= 4 इकाई x 2 इकाई

 

= 8 वर्ग इकाई

(e) आकृति e का क्षेत्रफल = 10 x 1 वर्ग इकाई

= 10 वर्ग इकाई

(f) आकृति f का क्षेत्रफल = 4 x 1 वर्ग इकाई

= 4 वर्ग इकाई

(g) आकृति g का क्षेत्रफल = 6 x 1 वर्ग इकाई

= 6 वर्ग इकाई

(h) आकृति g का क्षेत्रफल = 5 x 1 वर्ग इकाई

= 5 वर्ग इकाई

(i) आकृति g का क्षेत्रफल = 9 x 1 वर्ग इकाई

= 9 वर्ग इकाई

(j) आकृति g का क्षेत्रफल = ½  x आधार x ऊँचाई

= ½  x 4 x 2

= 4 वर्ग इकाई

(k)  आकृति g का क्षेत्रफल = 5 x 1 वर्ग इकाई

= 5 वर्ग इकाई

 (l) पूरे भरे बॉक्स = 2

आधे से अधिक भरे बॉक्स = 4
आधे भरे बॉक्स = 3
इसलिए क्षेत्रफल = 2 + 4 + 1.5 = 7.5 वर्ग यूनिट

इसी तरह: (m) 5 + 7 + 4 = 11 (n) 8 + 7 + 1 = 16

  10.3  कक्षा 6 गणित

प्रश्न 1: उन आयातों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ नीचे दी गई हैं:

(a) 3 सेमी और 4 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 3 × 4 = 12 वर्ग सेमी

(b) 12 मी और 21 मी

उत्तर: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 12 × 21 = 252 वर्ग मी

(c) 2 किमी और 3 किमी

उत्तर: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 2 × 3 = 6 वर्ग किमी

(d) 2 मी और 70 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 2 × 0.7 = 1.4 वर्ग मी

प्रश्न 2: उन वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ निम्नलिखित हैं:

(a) 10 सेमी

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 10 × 10 = 100 वर्ग सेमी

(b) 14 सेमी

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा = 14 × 14 = 196 वर्ग सेमी

(c) 5 मी

उत्तर: वर्ग का क्षेत्राल = भुजा × भुजा
= 5 × 5 = 25 वर्ग मी

प्रश्न 3: तीन आयतों की विमाएँ निम्नलिखित हैं:

(a) 9 मी और 6 मी

(b) 3 मी और 17 मी

(c) 4 मी और 14 मी

इनमें से किसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है और किसका सबसे कम?

उत्तर: पहले आयत का क्षेत्रफल = 9 × 6 = 54 वर्ग मी

दूसरे आयत का क्षेत्रफल = 3 × 17 = 51 वर्ग मी

तीसरे आयत का क्षेत्रफल = 4 × 14 = 56 वर्ग मी

दूसरे आयत का क्षेत्रफल सबसे कम और तीसरे का सबसे अधिक है।

Q4. 50 मी लंबाई वाले एक आयताकार बगीचे  का क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है | बगीचे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : आयताकार की लंबाई = 50 m और आयताकार आयताकर का क्षेत्रफल = 300 m² 

आयताकार का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

इसलिए, चौड़ाई = आयताकार का क्षेत्रफल / लंबाई = 300/50 = 6 m

इसलिए पार्क की चौड़ाई 6 m. है |

Q5. 500 मी लंबाई तथा 200 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखंड पर 8 रु. प्रति 100 वर्ग मीटर की दर से टाइल लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए |

हल : आयताकार भूखंड की लंबाई = 500 m और चौड़ाई = 200 m

भूखंड का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई = 500 m x 200 m = 1,00,000 m² 

100 m भूखंड पर टाइल लगाने का व्यय = 8 रु.

1,00,000 मी पर टाइल लगाने का व्यय = 8 x 1000 00 /100 = 8000

Q6. एक मेज़ के ऊपरी पृष्ट की माप 2 मी 25 सेमी x 1 मी 50 सेमी है | मेज़ का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ज्ञात कीजिए |

हल : मेज़ की लंबाई = 2 m

मेज़ की चौड़ाई = 1 m 50 cm = 1.50 m

मेज़ का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

= 2 m x 1.50 m = 3 m² 

Q7. एक कमरे की लंबाई 4 मी 25 सेमी तथा  चौड़ाई 3 मी 65 सेमी है | कमरे के फर्श को ढकने के लिए कितने वर्ग मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी ?

हल : कमरे की लंबाई = 4 m

कमरे की चौड़ाई = 3 m 50 cm = 3.50 m

गलीचे की आवश्यकता = लंबाई x चौड़ाई

= 4 x 3.50 = 14 m² 

Q8. एक फर्श की लंबाई 5 मी तथा चौड़ाई 4 मी है | 3 मी भुजा वाले एक वर्गाकार गलीचे को फर्श पर बिछाया गया है | फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर गलीचा नहीं बिछा है |

हल : फर्श की लंबाई = 5 m और फर्श की चौड़ाई = 4 m

फर्श का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

= 5 m x 4 m = 20 m² 

गलीचे का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा = 3 x 3 = 9 m² 

फर्श का क्षेत्रफल = 20 m²  – 9 m²  = 11 m² 

Q9. 5 मी लंबाई तथा 4 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखंड पर 1 मी भुजा वाली वर्गाकार फूलों की 5 क्यारियाँ बनाई जाती हैं | भूखंड के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | 

हल : भूखंड की भुजा = 1 m

भूखंड का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा = 1 m x 1 m = 1m² 

वर्ग की 5 भुजाओं का क्षेत्रफल = 1 x 5 = 5 m² 

अब, भूखंड की लंबाई = 5 m

भूखंड की चौड़ाई = 4 m

भूखंड का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

= 5 m x 4 m = 20 m² 

बचे हुए भाग का क्षेत्रफल = भूखंड का क्षेत्रफल – 5=फूलों की पांच क्यारियों का क्षेत्रफल

= 20m²  – 5m²  = 15m² 

Q10. निम्नलिखित आकृतियों को आयतों में तोड़िए | इनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ( भुजाओं की माप सेमी में दी गई है ) |

हल :

 HKLM का क्षेत्रफल = 3 x 3 = 9 cm² 

IJGH का क्षेत्रफल =  1 x 2 = 2 cm² 

FEDG का क्षेत्रफल = 3 x 3 = 9 cm² 

ABCD का क्षेत्रफल = 2 x 4 = 8 cm² 

आकृति का कुल क्षेत्रफल = 3 + 3 + 3 = 9 cm² 

Q11. निम्नलिखित आकृतियों को आयतों में तोड़िए और प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है ) |

हल :

 (a) आयताकार ABCD का क्षेत्रफल = 2 x 10 = 20 cm² 

आयताकार DEFG का क्षेत्रफल  = 10 x 2 = 20 cm² 

आकृति का कुल क्षेत्रफल = 20 + 20 = 40 cm² 

(b) यहाँ 5 वर्ग हैं जिनकी भुजा 7 cm. है

एक वर्ग का क्षेत्रफल = 7 x 7 = 49 cm² 

5 वर्ग का क्षेत्रफल = 49 x 5 = 245 cm² 

(c) आयताकार ABCD का क्षेत्रफल = 5 x 1 = 5 cm² 

आयताकार EFGH का क्षेत्रफल = 4 x 1 = 4 cm² 

आकृति कुल का क्षेत्रफल = 5 + 4 cm² 

Q12. एक टाइल की माप 5 सेमी x 12 सेमी है | एक क्षेत्र को पूर्णतया ढकने के लिए, ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी, जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः

(a) 144 सेमी और 100 सेमी है |

हल : क्षेत्र का क्षेत्रफल = 100 cm x 144 cm = 14400 cm² 

एक टाइल का क्षेत्रफल = 5 cm x 12 cm = 60 cm² 

टाइल की संख्या =  क्षेत्र का क्षेत्रफल /एक टाइल का क्षेत्रफल

= 14400/60 = 240

इसलिए 240 टाइल की जरुरत है

(b) = 70 cm x 36 cm = 2520 cm²  

एक टाइल का क्षेत्रफल = 5 cm x 12 cm = 60 cm² 

टाइल की संख्या = /एक टाइल का क्षेत्रफल

= 2520/60 = 42

42 टाइल की जरूरत है |