3.1 कक्षा 6 गणित
1. निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड लिखिए:
(ए) 24 (बी) 15 (सी) 21(डी) 27 (ई) 12 (एफ) 20(जी) 18 (एच) 23 (आई) 36
समाधान:
(ए) 24 के कारक हैं:
24 = 1 x 24;
24 = 2 x 12;
24 = 3 x 8;
24 = 4 x 6
अतः, 24 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24.
(बी) 15 के गुणनखंड हैं:
15 = 1 x 15;
15 = 3 x 5
अतः, 15 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 3, 5 और 15।
(सी) 21 के कारक हैं:
21 = 1 x 21;
21 = 3 x 7
अतः, 21 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 3, 7 और 21
(डी) 27 के कारक हैं:
27 = 1 x 27;
27 = 3 x 9.
अतः, 27 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 3, 9 और 27
(ई) 12 के कारक हैं:
12 = 1 x 12;
12 = 2 x 6;
12 = 3 x 4
अतः, 12 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6 और 12
(एफ) 20 के कारक हैं:
20 = 1 x 20;
20 = 2 x 10;
20 = 4 x 5
अतः, 20 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 4, 5, 10 और 20
(जी) 18 के गुणनखंड हैं:
18 = 1 x 18;
18 = 2 x 9;
18 = 3 x 6
अतः, 18 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 6, 9 और 18
(एच) 23 के गुणनखंड हैं:
23 = 1 x 23
अतः, अभाज्य संख्या 23 के सभी गुणनखंड हैं: 1 और 23
(i) 36 के गुणनखंड हैं:
36 = 1 x 36;
36 = 2 x 18;
36 = 3 x 12;
36 = 4 x 9;
36 = 6 x 6
अतः, 36 के सभी गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36
2. निम्नलिखित संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए:
(ए) 5 (बी) 8 (सी) 9
समाधान:
(ए) 5 के पहले पांच गुणज हैं:
5 x 1 = 5;
5 x 2 = 10;
5 x 3 = 15;
5 x 4 = 20;
5 x 5 = 25
अतः, 5 के आवश्यक गुणज हैं: 5, 10, 15, 20 और 25
(बी) 8 के पहले पांच गुणज हैं:
8 x 1 = 8;
8 x 2 = 16;
8 x 3 = 24;
8×4 = 32;
8 x 5 = 40
अतः, 8 के आवश्यक गुणज हैं: 8, 16, 24, 32 और 40
(सी) 9 के पहले पांच गुणज हैं:
9 x 1 = 9;
9 x 2 = 18;
9 x 3 = 27;
9 x 4 = 36;
9 x 5 = 45
अतः, 9 के आवश्यक गुणज हैं: 9,18, 27, 36 और 45
3. स्तंभ 1 की संख्याओं का स्तंभ 2 के साथ मिलान कीजिए:
स्तंभ 1 स्तंभ 2
(1) 35 a. 8 का गुणज
(2) 15 b. 7 का गुणज
(3) 16 c. 70 का गुणज
(4) 20 d. 30 का गुणनखंड
(5) 25 e. 50 का गुणनखंड
(6) f. 20 का गुणनखंड
समाधान:
(i) b, (ii) d, (iii) a, (iv) f, (v) e
4). 9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों।
समाधान:
9 x 1 = 9;
9 x 2 = 18;
9 x 3 = 27;
9 x 4 = 36;
9 x 5 = 45;
9 x 6 = 54;
9 x 7 = 63;
9 x 8 = 72;
9 x 9 = 81;
9 x 10 = 90;
9 x 11 = 99
अतः, 9 से 100 तक के सभी गुणज हैं:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 और 99.
3.2 कक्षा 6 गणित
1. बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों
(a) विषम संख्याएँ हों (b) सम संख्याएँ हों।
समाधान:
(ए) किन्हीं दो विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(बी) किन्हीं दो सम संख्याओं का योग सम होता है।
2. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्य है:
(ए) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(बी) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
(सी) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।
(डी) यदि एक सम संख्या को 2 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल हमेशा विषम होता है।
(ई) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
(एफ) अभाज्य संख्याओं का कोई गुणनखंड नहीं होता।
(छ) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।
(ज) 2 केवल सम अभाज्य संख्या है।
(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।
(जे) किन्हीं दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।
समाधान:
(ए) असत्य [∵ 3 5 7 = 15 (विषम)]
(बी) सत्य [∵ 3 5 6 = 14 (सम)]
(सी) सत्य [∵ 5 x 7 x 9 = 315 (विषम)]
(डी) गलत [∵ 6 2 = 3 (विषम)]
(ई) गलत [∵ 2 एक अभाज्य संख्या है लेकिन यह सम है]
(एफ) गलत [∵ 3 एक अभाज्य संख्या है जिसके गुणनखंड 1 और 3 हैं]
(छ) असत्य [∵ 7 2 = 9 (विषम)]
(ज) सत्य [∵ 2 सम और सबसे छोटी अभाज्य संख्या है]
(i) असत्य [∵ 2 सम है लेकिन भाज्य संख्या नहीं है]
(जे) सत्य [∵ 4 x 6 = 24 (सम)]
3. संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1और 3 हैं। 100 तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।
समाधान:
समान अंकों वाली अभाज्य संख्याओं की आवश्यक जोड़ी हैं:
(17 और 71), (37 और 73), (79 और 97)।
4. 20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।
समाधान:
20 से कम अभाज्य संख्याएँ हैं:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19
20 से कम समग्र संख्याएँ हैं:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 और 18
5.) 1 से 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।
समाधान:
1 और 10 के बीच सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 7 है।
6. निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:
(ए)44
(बी)36
(सी) 24
(डी) 18
समाधान:
(ए) 44 = 13, 31
(बी) 36 = 17, 19
(सी) 24 = 7, 17
(डी) 18 = 7, 11
7. अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिखिए जिसका अंतर 2 हो।
[टिप्पणी: दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 है, जुड़वां अभाज्य कहलाती हैं]
समाधान:
आवश्यक जोड़े हैं: (3 और 5), (5 और 7) और (11 और 13)
8. निम्नलिखित में से कौन-कौन सी संख्याएँ अभाज्य हैं?
(ए) 23
(बी)51
(सी)37
(डी) 26
समाधान:
(ए) 23 एक अभाज्य संख्या है [∵ 23 = 1 x 23]
(बी) 51 एक अभाज्य संख्या नहीं है [∵ 51 = 1 x 3 x 17]
(सी) 37 एक अभाज्य संख्या है [∵ 37 = 1 x 37]
(डी) 26 एक अभाज्य संख्या नहीं है [∵ 26 = 1 x 2 x 13]
9. 100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या न हो।
समाधान:
आवश्यक सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ हैं:
90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96
10. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:
(ए) 21
(बी)31
(सी) 53
(डी) 61
समाधान:
(ए) 21 को 3 +5 +13 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
(बी) 31 को 5+ 7+ 19 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
(सी) 53 को 13+ 17 +23 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
(डी) 61 को 11+ 13+ 37 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
11. 20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य हो।
(संकेत: 3 7 = 10)
समाधान:
20 से कम अभाज्य संख्याओं के आवश्यक जोड़े हैं:
(i) 2+ 3 = 5
(ii) 2+ 13 = 15
(iii) 11+ 9 = 20
(iv) 17+ 3 = 20
(v) 7 +13 = 20
12. निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए:
(ए) वह संख्या जिसमें केवल दो गुणनखंड हों, ………… कहलाती है।
(बी) वह संख्या जिसमें दो से अधिक गुणनखंड हों, ………… कहलाती है।
(सी) 1 न तो ………… न ही ………… है।
(डी) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ………… है।
(ई) सबसे छोटी भाज्य संख्या ………… है।
(च) सबसे छोटी सम संख्या ………… है।
समाधान:
(ए) अभाज्य संख्या
(बी) भाज्य संख्या
(सी) प्रधान, समग्र
(डी) 2
(ई 4
(च) 2